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Herleitung der Flußgleichung

Wir betrachten hier nur Zustände, die das System mindestens einmal während der Beobachtungszeit [0,T] annimmt (damit stets T_i>0 gilt, und somit keine undefinierten Ausdrücke entstehen). Ebenso soll die Summe nur über derartige Zustände genommen werden. Wir formen die letzte Gleichung

etwas um und erhalten

.

Wir definieren die relative Häufigkeit q_ji oder Wahrscheinlichkeit, daß ein Zustandswechsel aus dem Zustand j direkt in den Zustand i führt und nennen dieses Übergangswahrscheinlichkeit.

Außerdem sei die

die relative Zeit oder Wahrscheinlichkeit, die sich das System im Zustand i befindet; wir nennen diese die Zustandswahrscheinlichkeit von i. Dann folgt aus der letzten Gleichung die Flußgleichung

Das Produkt ist eine Rate, nämlich die Rate von Zustandsübergängen aus dem Zustand . Man nennt diese Rate zumeist den Fluß aus dem Zustand . Ähnlich kann man als den Fluß vom Zustand in den Zustand bezeichnen. Die letzte Gleichung besagt dann einfach, daß der Fluß aus einem Zustand gleich der Summe der Flüsse in diesen Zustand ist. Aus diesem Grunde wird diese Gleichung auch als Flußgleichung bezeichnet.

Diese Gleichung ist die Schlüsselgleichung zur Analyse solcher Zustandssysteme. Man beachte, daß die bisher hergeleiteten Beziehungen exakt gelten (bis evtl. auf den Fehler durch die Anfangs- und Endzustände). Sind die Parameter l_i bekannt, und ebenso die Übergangswahrscheinlichkeiten q_ij, so lassen sich aus diesem System von Flußgleichungen die Zustandswahrscheinlichkeiten p_i berechnen, wenn noch die Normalisierungsbedingung

berücksichtigt wird. Aus den Zustandswahrscheinlichkeiten lassen sich dann andere Kenngrößen solcher Systeme ermitteln, wie später noch gezeigt wird.