Eine Funktion oder Abbildung:
ist eine Zuordnung eines Elements einer Menge T auf genau ein Element
der Menge R. Sei T die Zeit, die als ein Intervall der reellen Zahlen betrachtet werden
kann. Das Bild der Funktion f, also f(t), kann dann z.B. als Spannung auf einer Leitung
zum Zeitpunkt aufgefaßt werden, und hat somit eine konkrete
physikalische Interpretation. Wir nennen solche Funktionen reelle
Zeitbereichsfunktionen.
Wenn eine reelle Zeitbereichsfunktion gegeben ist, so läßt sich diese
gemäß eines Satzes aus der Mathematik von Fourier durch die Summe anderer Funktionen
darstellen. Durch die Wahl unabhängiger Funktionen (orthogonaler
Funktionen) wird diese Zerlegung eindeutig, was gewisse Vorteile bietet.
Eine wichtige Klasse unabhängiger Funktionen, welche zugleich alle anderen analytischen
Funktionen approximieren können, sind die Sinus- und Cosinus-Funktionen für alle
Kreisfrequenzen w:
.
Die Verwendung trigonometrischer Funktionen hat verschiedene Vorteile.
Insbesondere kann man sich vorstellen, daß es eine tiefste Grundschwingungen gibt; diese
erhält man für das kleinste w, für welches einer der
Koeffiziente Aw oder Bw nicht null ist. Darüber hinaus gibt es Oberschwingungen, die auf
diese Grundschwingung addiert werden. Wegen der Eindeutigkeit dieser Zerlegung sind Grund-
und Oberschwingungen jeweils eindeutig bestimmt.
Die Bestimmung der Koeffizienten Aw und Bw wird als Fourier-Analyse
bezeichnet; hierfür gibt es ein mathematisch geschlossenes Verfahren. Das Ergebnis der
Fourier-Analyse einer Funktion sind die Koeffizienten Aw und Bw, die die Amplituden der
entsprechenden Oberschwingungen angeben. Im allgemeinen Fall ist dieses ein
kontinuierliches Spektrum, da sich allgemeine Funktionen nur als Integrale verschiedener
Sinusfunktionen mit sich stetig ändernder Frequenz darstellen lassen. Die Funktion von
Amplituden, abhängig von der Kreisfrequenz w, wird als das Frequenzspektrum
oder als die Frequenzbereichsdarstellung der Ausgangsfunktion bezeichnet,
da die Abszisse die Frequenzwerte angibt. Entsprechend spricht man bei der Funktion selbst
von der Zeitbereichsdarstellung, da die Abszisse die Werte der Funktion über die Zeit
angibt.
Die Energie eines Signals ist proportional dem Quadrat der
Zeitfunktion. Dieses sieht man folgendermaßen: Für ein elektrisches Signal gilt
,
wobei W die Arbeit (oder Energie) ist, und U und I die Spannung bzw.
der Strom. An einem ohmschen Widerstand R ist U=I*R, so daß gilt
.
Dieses ergibt somit auch die Energie einer Oberwelle. Je energiereicher
diese sind, desto eher können sie andere Wellen beeinflussen. Wird in der
Frequenzbereichsdarstellung statt der Amplitude die Energie eines Signals aufgetragen, so
spricht man auch von seinem Frequenzenergiespektrum.
Für die Nachrichtenübertragung hat diese Erkenntnis verschiedene
Anwendungen. So hängt die Dämpfung einer elektrischen Spannung von der Frequenz der
Spannung ab, da sich eine lange Leitung wie eine Kombination aus Kondensator und
Widerstand verhält.
Insbesondere die frequenzabhängige Dämpfung langer Leitungen bewirkt,
daß die ursprüngliche Wellenform, zerlegt in Grundschwingung und Oberschwingungen, sich
am anderen Ende einer Leitung aus verschiedenen Oberschwingungen, deren Amplituden sich
unterschiedlich verändert haben, zusammensetzt; dadurch entsteht eine Verfälschung der
Form des Signals. Für die Datenübertragung wird als Signalform häufig das Rechteck
gewählt, welches sich jedoch leicht völlig verformen kann und dann nur noch als breiter
Bogen erkannt wird, wobei sich aufeinanderfolgende Impulse überlappen können; dadurch
wird die Erkennung des Signals deutlich erschwert.
Ein weiteres Problem tritt auf, wenn sich aufeinanderfolgende Signale
gegenseitig beeinflussen (intersymbol interference). Dieses
bewirkt insbesondere, daß aufeinanderfolgende Signale nur schwierig zu unterscheiden
sind, wobei besonders die Grenze zwischen zwei Signalen aus dem eigentlichen Signal nicht
mehr erkannt werden kann. Man kann theoretisch untersuchen, welche Signalform sich am
besten für die Übertragung eignet, wobei die Wechselwirkung zwischen zwei Symbolen
eliminiert wird. Die theoretisch beste Signalform ist jedoch praktisch nicht realisierbar.
Darüber hinaus gibt es andere Randbedingungen, insbesondere Störungen, die häufig einen
wesentlich stärkeren Einfluß haben, so daß diese Untersuchungen nicht getrennt von
anderen Überlegungen durchgeführt werden sollten.
In vielen Anwendungen werden deutlich komplexere Signalformen verwendet, z.B. bei der
später noch genauer untersuchten AMI-Kodierung, die einen Code mit drei Werten (ternären
Code) benutzt. Hier werden die Flanken benutzt, um den ursprünglichen Takt am
Empfänger zurückzugewinnen. Die Spektraldarstellung dieser Codes zeigt zum Teil sehr
unterschiedliche Frequenzanteile, die bei der Auswahl eines bestimmten Codes
gegebenenfalls berücksichtigt werden müssen.