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Fourieranalyse

Eine Funktion oder Abbildung:

fTnachR.gif (591 Byte)

ist eine Zuordnung eines Elements einer Menge T auf genau ein Element der Menge R. Sei T die Zeit, die als ein Intervall der reellen Zahlen betrachtet werden kann. Das Bild der Funktion f, also f(t), kann dann z.B. als Spannung auf einer Leitung zum Zeitpunkt tausT.gif (314 Byte) aufgefaßt werden, und hat somit eine konkrete physikalische Interpretation. Wir nennen solche Funktionen reelle Zeitbereichsfunktionen.

Wenn eine reelle Zeitbereichsfunktion gegeben ist, so läßt sich diese gemäß eines Satzes aus der Mathematik von Fourier durch die Summe anderer Funktionen darstellen. Durch die Wahl unabhängiger Funktionen (orthogonaler Funktionen) wird diese Zerlegung eindeutig, was gewisse Vorteile bietet. Eine wichtige Klasse unabhängiger Funktionen, welche zugleich alle anderen analytischen Funktionen approximieren können, sind die Sinus- und Cosinus-Funktionen für alle Kreisfrequenzen w:

Fourier-1.gif (980 Byte).

Die Verwendung trigonometrischer Funktionen hat verschiedene Vorteile. Insbesondere kann man sich vorstellen, daß es eine tiefste Grundschwingungen gibt; diese erhält man für das kleinste w, für welches einer der Koeffiziente Aw oder Bw nicht null ist. Darüber hinaus gibt es Oberschwingungen, die auf diese Grundschwingung addiert werden. Wegen der Eindeutigkeit dieser Zerlegung sind Grund- und Oberschwingungen jeweils eindeutig bestimmt.

Die Bestimmung der Koeffizienten Aw und Bw wird als Fourier-Analyse bezeichnet; hierfür gibt es ein mathematisch geschlossenes Verfahren. Das Ergebnis der Fourier-Analyse einer Funktion sind die Koeffizienten Aw und Bw, die die Amplituden der entsprechenden Oberschwingungen angeben. Im allgemeinen Fall ist dieses ein kontinuierliches Spektrum, da sich allgemeine Funktionen nur als Integrale verschiedener Sinusfunktionen mit sich stetig ändernder Frequenz darstellen lassen. Die Funktion von Amplituden, abhängig von der Kreisfrequenz w, wird als das Frequenzspektrum oder als die Frequenzbereichsdarstellung der Ausgangsfunktion bezeichnet, da die Abszisse die Frequenzwerte angibt. Entsprechend spricht man bei der Funktion selbst von der Zeitbereichsdarstellung, da die Abszisse die Werte der Funktion über die Zeit angibt.

Die Energie eines Signals ist proportional dem Quadrat der Zeitfunktion. Dieses sieht man folgendermaßen: Für ein elektrisches Signal gilt

WistUmalI.gif (360 Byte),

wobei W die Arbeit (oder Energie) ist, und U und I die Spannung bzw. der Strom. An einem ohmschen Widerstand R ist U=I*R, so daß gilt

WistUmalIist.gif (689 Byte).

Dieses ergibt somit auch die Energie einer Oberwelle. Je energiereicher diese sind, desto eher können sie andere Wellen beeinflussen. Wird in der Frequenzbereichsdarstellung statt der Amplitude die Energie eines Signals aufgetragen, so spricht man auch von seinem Frequenzenergiespektrum.

Für die Nachrichtenübertragung hat diese Erkenntnis verschiedene Anwendungen. So hängt die Dämpfung einer elektrischen Spannung von der Frequenz der Spannung ab, da sich eine lange Leitung wie eine Kombination aus Kondensator und Widerstand verhält.

Insbesondere die frequenzabhängige Dämpfung langer Leitungen bewirkt, daß die ursprüngliche Wellenform, zerlegt in Grundschwingung und Oberschwingungen, sich am anderen Ende einer Leitung aus verschiedenen Oberschwingungen, deren Amplituden sich unterschiedlich verändert haben, zusammensetzt; dadurch entsteht eine Verfälschung der Form des Signals. Für die Datenübertragung wird als Signalform häufig das Rechteck gewählt, welches sich jedoch leicht völlig verformen kann und dann nur noch als breiter Bogen erkannt wird, wobei sich aufeinanderfolgende Impulse überlappen können; dadurch wird die Erkennung des Signals deutlich erschwert.

Ein weiteres Problem tritt auf, wenn sich aufeinanderfolgende Signale gegenseitig beeinflussen (intersymbol interference). Dieses bewirkt insbesondere, daß aufeinanderfolgende Signale nur schwierig zu unterscheiden sind, wobei besonders die Grenze zwischen zwei Signalen aus dem eigentlichen Signal nicht mehr erkannt werden kann. Man kann theoretisch untersuchen, welche Signalform sich am besten für die Übertragung eignet, wobei die Wechselwirkung zwischen zwei Symbolen eliminiert wird. Die theoretisch beste Signalform ist jedoch praktisch nicht realisierbar. Darüber hinaus gibt es andere Randbedingungen, insbesondere Störungen, die häufig einen wesentlich stärkeren Einfluß haben, so daß diese Untersuchungen nicht getrennt von anderen Überlegungen durchgeführt werden sollten.

ERSATZSCHALTBILD.WMF (5104 Byte)

In vielen Anwendungen werden deutlich komplexere Signalformen verwendet, z.B. bei der später noch genauer untersuchten AMI-Kodierung, die einen Code mit drei Werten (ternären Code) benutzt. Hier werden die Flanken benutzt, um den ursprünglichen Takt am Empfänger zurückzugewinnen. Die Spektraldarstellung dieser Codes zeigt zum Teil sehr unterschiedliche Frequenzanteile, die bei der Auswahl eines bestimmten Codes gegebenenfalls berücksichtigt werden müssen.