Rechnernetze

Geschlossene Wartenetze

Wir betrachten jetzt geschlossene Netze von Wartesystemen. Für die folgenden Betrachtungen legen wir einige Parameter solcher Systeme fest. Das System habe M Stationen, und es gebe insgesamt F Aufträge in dem System. Gesucht ist nach der Zustandsverteilung, d.h. der Wahrscheinlichkeit, daß sich die Aufträge in dem System derart verteilen, daß sich in Station i n_i Aufträge befinden. Wir schreiben für den Zustand wieder und für die entsprechende Wahrscheinlichkeit, in diesem Zustand zu sein . Ein Beispiel eines solchen geschlossenen Wartenetzes, wie es bei der Analyse von Rechnernetzen vorkommen kann, ist im nächsten Bild dargestellt.

Wir nehmen wieder an, daß ein Zustandswechsel durch Übergang eines Auftrags von Station r in die Station s erfolgt

unabhängig von dem Zustand des restlichen Systems stattfinden kann. Sei z_r der Zustand, in dem sich in Station r genau n_r Aufträge befinden; die Verteilung der restlichen Aufträge auf die anderen Stationen ist beliebig. z_r besteht also aus der Vereinigung aller Zustände, in denen sich in Station r genau r Aufträge befinden.

Die Übergangsrate aus dem Zustand z_r bezeichnen wir als m_r(n_r)=m_r·d_r(n_r); dabei ist m_r die Bedienrate der entsprechenden Station r und d_r(n_r) ein Proportionalitätsfaktor, der die Änderung der Bedienrate abhängig von der Füllung der Station r angibt. In jedem Falle ist d_r(0)=0, d.h. aus einer leeren Station kann kein Auftrag austreten. In einem Einbedienersystem wird man d_r(n)=1 setzen, für n>0. Gibt es beliebig viele paralle Bediener, so wird man d_r(n)=n setzen. Jede andere Wahl der Funktion ist ebenfalls zulässig.

Man nennt die hier betrachteten Netze Gordon-Newell-Netze (obgleich sie zuerst von Jackson beschrieben wurden). Eine Rekursion zur Berechnung der Zustandswahrscheinlichkeiten geht auf Buzen [Buzen73] zurück. Eine andere Rekursion verwendet die folgende rekursive Formel

mit den Anfangswerten:

Dieses Verfahren wird auch als Durchsatzalgorithmus bezeichnet. Es kann auf Systeme mit lastabhängigen Bedienraten in einigen Stationen erweitert werden. Sei

Dann gilt