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Grundbegriffe

Sei der i-te aller Zustände, {i=1, 2, …} die Menge aller von uns betrachteten Zustände. Sei Ti die gesamte Zeit, die sich das System im i-ten Zustand befindet, und sei Aij die Zahl von Übergängen von Zustand i in den Zustand j; dabei wird zwischendurch kein anderer Zustand angenommen. Der Übergang i->j wird auch als direkter Zustandswechsel bezeichnet.

Sei

die Zahl von Übergängen aus dem Zustand i in einen beliebigen anderen Zustand. Wird der Zustand in [0,T] mindestens einmal angenommen, ist also Ti>0, so nennen wir

die Übergangsrate aus dem Zustand i. Man beachte jetzt, daß jeder Zustand, der einmal betreten wird, auch wieder verlassen werden muß. Daraus folgt natürlich, daß die Anzahl von Zugängen in einen Zustand gleich der Anzahl von Abgängen aus diesem Zustand sein muß. Dieses gilt für alle Zustände, die das System in der Zeit [0,T] annimmt, außer (evtl.) für den Anfangszustand (in dem sich das System zur Zeit 0 befindet) und dem Endzustand (in dem sich das System zur Zeit T befindet). Der Anfangszustand wird einmal mehr verlassen als betreten, der Endzustand entsprechend einmal mehr betreten als verlassen.

Ist jedoch der Anfangszustand gleich dem Endzustand, so gilt auch für diese beiden Zustände, daß die Zahl der Zugänge in diesen Zustand gleich der Zahl der Abgänge aus diesem Zustand ist. Im folgenden werden wir stets annehmen, daß dieses für alle Zustände gilt. Sind Anfangs- und Endzustand verschieden, so werden wir zur Vereinfachung der Formeln annehmen, daß der daraus resultierende Fehler einen vernachlässigbaren Einfluß auf das gesamte Ergebnis hat. Es soll also für alle Zustände gelten

Dabei ist die Summe über alle Zustände zu nehmen, die in [0,T] angenommen werden. Man beachte, daß dieses auch für Zustände gilt, die niemals angenommen werden. Dann sind nämlich sowohl alle Aji=0 als auch alle Aji=0, für alle j.