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Berechnung von Kenngrößen mit Zustandsmodellen

Wir zeigen jetzt, wie Wartestationen und Netze von Wartestationen mit der Zustandstheorie bewertet werden können. Als erstes ist zu einem System ein Modell zu finden. Für ein einfaches Wartemodell wählen wir

Hier ist die Nummer des Zustands gleich der Anzahl der Pakete in der Wartestation. Hat die Warteschlange nur eine endliche Kapazität, so ist auch die Anzahl der Zustände beschränkt.

Einige interessante Probleme werden mit zustandsabhängigen Übergangsraten behandelt. In einem ersten Beispiel nehmen wir an, daß es in einer Station mehrere Bediener gibt, die parallel arbeiten können; bei einer größeren Zahl von Aufträgen wird sich in der Station auch die Bediengeschwindigkeit erhöhen. Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir an, daß es eine Funktion gibt, so daß die zustandsabhängige Bedienrate durch berechnet werden kann, wobei n die Zahl von Aufträgen im System ist, und m die Bedienrate eines einzelnen Bedieners angibt. Diese Annahme kann nur dann mathematisch gerechtfertigt werden, wenn die Bedienzeitverteilung gedächtnislos ist; ansonsten gibt dieses nur eine Näherung der wahren Verhältnisse wieder. Das folgende Bild zeigt das Zustandsmodell zu diesem System.

Ebenso lassen sich auch zustandsabhängige Zugangsraten einführen, z.B. wenn Aufträge bei zu langen Warteschlangen entmutigt die Wartestation gar nicht erst betreten (Disencouraged Arrival) oder wenn in geschlossenen Wartesystemen die Anzahl verfügbarer Aufträge von der Füllung des aktuellen Systems abhängt. In all diesen Fällen ist jedoch nicht gemeint, daß der Zeitpunkt, wann ein Auftrag ankommt bzw. fertiggestellt wird, von dem Systemzustand abhängt; lediglich die entsprechende Übergangsrate, also die Zahl von fertiggestellten Aufträgen in diesem Zustand, bezogen auf die Zeit in diesem Zustand, soll nicht mehr für alle Zustände gleich sein. Stattdessen sollen die zustandsabhängigen Übergangsraten zueinander in einem festen Verhältnis stehen. Man kann somit genauso rechnen wie vorher, nur daß nicht mehr notwendigerweise alle li=l bzw. mi=m sind.

Die Auswertung dieser Zustandssysteme liefert die jeweiligen Zustandswahrscheinlichkeiten und kann durch Lösen linearer Gleichung bewerkstelligt werden. Da es sich hier jedoch um spezielle Probleme handelt, sind in vielen Fällen spezielle Lösungsansätze effizienter.