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Leistungsbewertung des ARQ-Protokolls

Es sei n=k+s, wobei n die Länge eines Datenblocks in Bits ist, k die Anzahl der Nutzdatenbits, und s die Anzahl der Bits in der Zusatzinformation, wie Rahmenbildung, das Bit für die alternierende Bestätigung, usw. Da wir hier das Auftreten eines Fehlers im Bestätigungsblock nicht besonders betrachten, soll s auch die Bits des ACK bzw. NAK enthalten.

BIT-ANZAHL.WMF (1380 Byte)

Sei die Anzahl der übertragenen Blöcke A, dann ist die Menge der insgesamt übertragenen Nutzinformation in Bits A·k=A·(n-s). Die Zeit für die Übertragung dieser Information hängt von der Fehlerhäufigkeit ab.

Wir verwenden ein unabhängiges Fehlermodell, so dass für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in einem Block der Länge n gilt

.

Hier ist p die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Bitfehler. Die Anzahl von Blöcken, die gesendet werden, ist A vermehrt um die Anzahl der aufgrund eines aufgetretenen Fehlers mehrfach gesendeten Blocks. A Blöcke müssen mindestens einmal gesendet werden. Deren Übertragungszeit errechnet sich aus dem Zeitintervall vom Senden eines Blocks bis zum Senden des nächsten Blocks, wenn kein Fehler auftritt. Hierin sind die Zeiten für die Übertragung von Blöcken: , die Signalverzögerungszeit, die Bearbeitungszeit im Sender und Empfänger für ein- und ausgehende Blöcke usw. enthalten. Die Zeitüberwachung braucht hier jedoch nicht berücksichtigt zu werden.

Wir nennen diese Zeit Blockübertragungszeit TB und berechnen sie zu

Hier ist tb die Zeit zur Übertragung eines Bits und tv die Verzögerungszeit aufgrund der Signalfortpflanzungsverzögerung (propagation delay). Diese muss zweimal berücksichtigt werden, da sie vom Sender zum Empfänger, und vom Empfänger zum Sender vorkommt. tp sei die Verarbeitungszeit (processing time) eines Blocks im Sender und im Empfänger.

BLOCKZEIT.WMF (5788 Byte)

Von A Blöcken sind beim ersten Senden A·P fehlerhaft, so dass A·P Blöcke mindestens zweimal gesendet werden müssen. Von diesen sind wiederum mit der Wahrscheinlichkeit P fehlerhafte dabei, so dass A·P2 Blöcke mindestens dreimal gesendet werden müssen, usw. Im Mittel sind Blöcke fehlerhaft und müssen die Fehlerprozedur durchlaufen. Wenn kein NAK verwendet wird, ist deren Verzögerungszeit im wesentlichen durch die Laufdauer der Zeitüberwachung bestimmt, so dass diese Verzögerungszeit als TZ bezeichnet werden soll. Wir nehmen an, dass TZ ein bestimmtes Vielfaches der Zeit TB ist, da TZ natürlich länger sein muss als TB, welches eine 'ideale' Übertragungszeit darstellt.

Blockübertragungszeit bei Fehlern

Somit ergibt sich für die Dauer der Übertragung aller Blöcke

Die effektive Bitrate, d.h. die Anzahl der übertragenen Nutdatenbit je Zeiteinheit, ist dann gegeben durch

Enthält kein Block Nutzbits (d.h. k=n-s=0), so ist l=0. Konvergiert die Anzahl k der Nutzbits je Datenblock gegen unendlich, so konvergiert l gegen 0, da der Term im Zähler (1-p)n gegen 0 konvergiert. Da zwischen diesen beiden extremen Werten natürlich eine effektive Bitübertragung stattfindet, gibt es ein Optimum, welches durch entsprechende numerische Methoden gefunden werden kann.

Beispiel

Für die Parameter: tb=10-7, tp=10-4, tv=10-6, s=100 und z=10 erhalten wir für verschiedene Verlustwahrscheinlichkeiten die folgenden optimalen Längen von Paketen:

p n l U
10-3 430 357 kBit/s 29 %
10-4 1130 2181 kBit/s 52 %
10-5 3410 5547 kBit/s 77 %
10-6 10640 8166 kBit/s 91 %

Wird in dem Protokoll ein NAK verwendet, so weiß der Sender genauso schnell wie bei der fehlerfreien Übertragung, ob der Block richtig übermittelt wurde. Es ist dann TZ = TB, also z=1, so dass sich die obige Formel etwas vereinfacht:

Effektive Übertragungsrate (NAK)

Hier gilt das gleiche für die Extremwerte wie im ersten Fall. Die optimalen Werte für die Blocklänge sind hier in der Regel aber andere.

Als zweite Kenngröße für dieses Protokoll soll die Auslastung des Kanals berechnet werden. Treten keine Fehler auf, so ist p=0. Dann folgt für die Übertragungszeit:

Wir nehmen darüber hinaus an, dass die Bearbeitungszeit tp verschwindet. Die Zeit für die Übermittlung aller Blöcke ist . Die Auslastung U (utilization) ist dann definiert als:

Sei n=1000. Die Übertragungsgeschwindigkeit ist meist von der Größenordnung 2/3·c, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Dann gilt für

.

Für zwei verschiedene Bitraten tb (1 kbit/s und 1 Mbit/s) und verschiedene Kabellängen betrachten wir die Kanalauslastung U. Es ist

Länge des Kanals 1 kbit/s 1 Mbit/s
1 km, verdrilltes Kabel U=1 U=1
200 km, Mietleitung Koaxialkabel U=1 U=0,33
50.000 km, Satellitenverbindung U=0,67 U=0,002

Man sieht hieraus deutlich, dass die Auslastung des Kanals bei diesem Protokoll u.U. sehr schlecht ist, insbesondere wenn man sehr leistungsfähige Kanäle verwendet.