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Das operationale Modell

Das operationale Modell stellt Beziehungen zwischen Kenngrößen in dynamischen Systemen auf.

In der operationalen Analyse von Wartesystemen werden in einem endlichen Zeitintervall der Länge T beobachtbare Größen gemessen, von diesen Kenngrößen (z.B. Mittelwerte) abgeleitet und deren Werte zueinander in Beziehung gesetzt.

Um dieses zu verdeutlichen, geben wir ein sehr einfaches Beispiel an: Ein Paket muss vor einer Leitung eine Zeitlang warten. Nummerieren wir alle Pakete durch und habe dieses die Nummer i, so betrage seine (direkt beobachtbare) Wartezeit w_i. Nachdem es gewartet hat, wird es über die Leitung übertragen, d.h. bedient. Seine (direkt beobachtbare) Bedienzeit (service time) betrage s_i. Als (direkt beobachtbare) Verweilzeit v_i (sojourn time) bezeichnen wir die Zeit, die das Paket insgesamt in dem System verbringt, d.h. sowohl wartet als auch bedient wird. Seine gesamte (diskrete) Verweilzeit ist somit

.

Zur Berechnung der Verweilzeit

Nimmt man jetzt als Mittelwert dieser Größen das arithmetische Mittel, so ergibt sich bei A beobachteten Paketen

Damit haben wir eine Beziehung zwischen Kenngrößen in solchen Wartesystemen gefunden: Die mittlere Verweilzeit V ist gleich der Summe aus der mittleren Wartezeit W und der mittleren Bedienzeit S. Dieses gilt offenbar unabhängig davon, wie viele Aufträge bedient wurden. Wurde mindestens einer bedient, so ist diese Beziehung bereits korrekt (wenngleich dann die direkt beobachtbare Größen gleich deren Mittelwert sind).

Ziel der operationalen Analyse ist es, Beziehungen zwischen Kenngrößen solcher Wartesysteme anzugeben. Diese Beziehungen lassen sich in Form von algebraischen Gleichungen ausdrücken, so dass eine algebraische Behandlung naheliegend ist. Wir werden uns in mathematischer Hinsicht auf elementare algebraische Umformungen beschränken können.

Zunächst sei anhand eines weiteren Beispiels das mathematische Modell etwas genauer erklärt. Prinzipiell stellen wir uns auf den Standpunkt, das System eine endliche Zeit lang zu beobachten. Die Zeitpunkte seien auf der reellen Zahlenachse aufgetragen, wobei wir zum Zeitpunkt 0 mit der Beobachtung beginnen und zum Zeitpunkt T damit aufhören. Daher betrachten wir nur Ereignisse, die in dem endlichen Zeitraum [0,T] stattfinden.

Es gibt drei Typen von Größen, die an Wartesystemen beobachtet werden können. Zum einen sind dieses Folgen, die etwa durch einen Auftragsstrom entstehen. Jeder der A Aufträge hat eine Wartezeit w_i, so dass {w_i}_i=1..A eine Folge ist. Wir ordnen einer solchen Folge als Kenngröße u.a. das arithmetische Mittel zu (es gibt weitere Kenngrößen für Folgen). Solche Folgen, die das Verhalten einer dynamischen Größe beschreiben, werden von uns auch als Zählgrößen bezeichnet.

Der zweite Typ von Größen lässt sich mathematisch als Funktion über der Zeit modellieren. Zum Beispiel ist die Anzahl von Paketen, die sich insgesamt zu einem bestimmten Zeitpunkt s im Puffer befinden, durch eine Funktion

angebbar; diese Funktion nennen wir auch Füllungsfunktion. n(t) gibt somit die Anzahl von Paketen im System zur Zeit t an. Als Mittelwert einer Funktion definieren wir die 'mittlere Höhe' dieser Funktion. Dazu ist diese von 0 bis T zu integrieren und durch die Zeit T zu teilen. (Auch für Funktionen gibt es weitere Kenngrößen). Funktionen, die das Verhalten einer dynamischen Größe beschreiben, werden von uns auch als Zeitgrößen bezeichnet.

Eine weitere Größe gibt die Häufigkeit gewisser Ereignisse je Zeiteinheit wieder, z.B. die Anzahl der Pakete, die pro Minute in einem Knoten eintreffen. Eine solche Größe wird als Rate bezeichnet; in diesem Beispiel würde man von einer Zugangsrate (Arrival Rate) oder auch Paketrate, Auftragsrate usw. sprechen.

Es lässt sich jetzt durch algebraische oder geometrische Betrachtungen zeigen, dass die Summe aller Verweilzeiten den gleichen Wert liefern muss wie das Integral über der Füllungsfunktion. Dann lässt sich leicht die Beziehung zeigen

Diese Gleichung ist demnach wieder eine Beziehung zwischen Kenngrößen. Sie gilt sehr allgemein mit nur wenigen Einschränkung in jedem System und wird als Littles Gesetz bezeichnet.

Der Beweis dieser Behauptung ergibt sich aus dem folgenden Diagramm: Gleichfarbige Flächen stehen für die Zeit, die sich jeweils ein bestimmter Auftrag im System befindet. Die Länge einzelner Flächen ist somit gleich der Verweilzeit der jeweiligen Aufträge, und da die Höhe konstant gleich eins ist, ist die Fläche numerisch gleich der Verweilzeit des jeweiligen Auftrags, und die Summe der Flächen (wir nennen diese hier X) ist gleich der Summe aller Verweilzeiten. Kürzt man somit die Fläche unter der gesamten Kurve durch die Anzahl der Aufträge, so erhält man die mittlere Verweilzeit V=X/A.

Andererseits ergibt aber die Höhe aller Flächen in dem Diagramm zu jedem Zeitpunkt t zugleich auch die Anzahl der Aufträge im System zum Zeitpunkt t. Somit ist die gesamte Fläche unter der Kurve gleich dem Integral über der Füllung des Systems mit Aufträgen; kürzt man dieses durch die gesamte Zeit T, so ist der Wert numerisch gleich der mittleren Füllung F=X/T.

Hier wurde für das Verhältnis der Auftragszugangszahl A zur Zeit T noch die Auftragszugangsrate l eingeführt.

Fragen

1. Nennen Sie drei Beispiele für Wartesysteme.
2. Was ist ein dynamisches System?
3. Was sind beobachtbare Größen? Geben Sie Beispiele hierfür an.
4. Was sind Kenngrößen?
5. In welchem Zeitraum betrachtet die operationale Analyse ein dynamisches System?
6. Welche Kenngrößen werden in der operationalen Analyse betrachtet?
7. Welche Typen von beobachtbaren Größen werden in der operationalen Analyse betrachtet?