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Wartezeitformel für M/M/1-Systeme

Obgleich auch die höheren Momente der Wartezeiten berechnen werden können, übersteigt dieses den Rahmen dieses Buchs, so dass wir nur das erste Moment der Wartezeit unter bestimmten vereinfachenden Annahmen berechnen werden. Sei F die mittlere Zahl von Paketen in einem System mit einer Warteschlange und einem Bediener. Ein ankommendes Paket wird bei einer Bedienung in der Reihenfolge der eintreffenden Pakete im Mittel eine gewisse Zeit W warten müssen. Wir werden verschiedene Annahmen machen, um W (und damit F) zu bestimmen.

MITTFUELLUNGWS.gif (2861 Byte)

Als erstes folgt aus Littles Gesetz, daß l·W die mittlere Zahl von Paketen in der Warteschlange ist (ohne die Bedienstation). Aus dem Auslastungsgesetz folgt, daß e die mittlere Zahl von Paketen im Bediener ist. Also folgt für die gesamte Füllung des Systems:

Wir nehmen zunächst an, daß ein Paket, das in das System eintritt, im Mittel F Pakete im System antrifft. Die mittlere Bedienzeit jedes Pakets, das vor ihm bedient wird, sei S. Dann ist die mittlere Wartezeit dieses Pakets F·S. Setzen wir dieses für die Wartezeit W in der letzten Gleichung ein, so folgt nach Auflösen nach F

Nach dem Auslastungsgesetz 3.5.1 gilt: e=l·S. Ist l·S<1, so gilt ebenfalls:

Nach Littles Gesetz F=V·l und dem Auslastungsgesetz folgt für die mittlere Verweilzeit im gesamten System:

Subtrahiert man hiervon die mittlere Bedienzeit, so erhält man die mittlere Wartezeit:

Damit erhalten wir für die Mittelwerte von Füllung, Verweilzeit und Wartezeit den folgenden Satz.

Satz

Für ein M/M/1-Wartesystem gilt

Offenbar sind dieses vernünftige Ergebnisse: Für ein sehr kleines e wird die mittlere Füllung des Gesamtsystems ebenfalls sehr klein, da entweder Aufträge nur selten ankommen, oder die Bearbeitung eines Auftrags sehr kurz ist. Auch erfüllt die Gleichung stets die plausible Bedingung, daß , wobei die Gleichheit nur gilt, wenn e=0 ist. Diese Bedingung muß gelten, da e nicht nur die Auslastung, sondern zugleich auch die mittlere Füllung des Bedieners (ohne Warteeinheit) angibt. Wächst e sehr stark an, so wird auch die mittlere Füllung sehr groß. Wird , so wird

also T_b>T. Dann ist die gesamte geforderte Bedienzeit T_b größer als die gesamte Zeit T, und daher kann das System niemals die Bedienzeitforderung erfüllen. Daher werden sich immer mehr Aufträge in der Warteschlange ansammeln, ohne daß das System jemals die Chance hat, die Warteschlange einmal ganz leerbedienen zu können. (Die negative Füllung bei e>1 ergibt sich aus dem mathematischen Modell und hat natürlich keine Bedeutung in dem realen System.)