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Wartezeit für M/G/1-Systeme (P-K-Formel)

Bei der Berechnung der Wartzeit für M/M/1-System wurde angenommen, daß ein eintreffender Auftrag unabhängig von vorher eintreffenden Aufträgen die Wartestation betritt (daher M/…). Gleichzeitig wurde angenommen, daß die mittlere Zeit, die ein Paket noch bedient wird, wenn ein anderes das System betritt (die sogenannte Restzeit residual recurrence time), gerade so lang ist wie die mittlere Bedienzeit. Dieses gilt, wenn die Bedienzeitverteilung gleichfalls gedächtnislos ist, wie hier nicht weiter gezeigt werden kann. Insgesamt folgt die obige Formel für M/M/1-Systeme.

Wir nehmen jetzt an, daß ein ankommendes Paket aufgrund zweier Ursachen zu warten hat. Im Mittel befinden sich (F-e) Pakete in der Warteschlange, die die Bedienung des eintreffenden Pakets um (F-e)·S verzögern. Außerdem müssen die Pakete im Mittel zusätzlich die Restzeit Z warten. Dann folgt für die Wartezeit eines Pakets

Einsetzen in die vorletzte Gleichung und Auflösen nach F ergibt

.

Für die Wartezeit erhalten wir somit

.

Setzen wir jetzt den letzten Ausdruck für Z ein, so folgt

Diese Gleichung wird auch als P-K-Formel bezeichnet (nach den beiden Erfindern Pollaczek und Khintchine, die unabhängig voneinander Anfang der dreißiger Jahre die Verteilung der Wartezeiten für M/G/1-Systeme gefunden haben). Sie zeigt deutlich, daß die mittlere Wartezeit mit der Streuung der Bedienzeit wächst. Daher hängt hier ein Mittelwert von der Streuung einer anderen Kenngröße ab, was zeigt, daß bei der Beurteilung von Wartezeiten sehr vorsichtig argumentiert werden muß.